סכום הספרות בזרם של 369

כל מספר שמוסיפים לו תשע שומר על עצמו כשמסכמים את הספרות אחרי החיבור. וכך: אחד ועוד תשע הם  10 וסכום הספרות של עשר הוא אחד, שניים הוא 11 וסכום הספרות של 11 הוא שניים, שלוש הוא 12 וסכום הספרות של 12 הוא 3 וכן הלאה. זאת הסיבה לכך שבזרם של ה 369 סכום הספרות תמיד שומר על עצמו.  

מקור הרעיון של סכום הספרות של מספר

בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא הרבינו להשתמש בסכומי ספרות של מספר, וכך אמרנו שאם נחבר את הספרות של המספר 321 נקבל את המספר שש. חיבור הספרות מוכר גם בגימטריה, על סוגיו השונים, אבל עד כה לא נתקלתי במקורו. אתמול קראתי בעמוד 115 בספרו של 

 T. L. Heath

A History of Greek Mathematics, Volume 1

שימבליכוס, בן המאה הרביעית לספירה  

(c. 245 – c. 325 C.E.)

טען בספרו "הקדמה לאריתמטיקה של ניקומאכוס" שחיבור הספרות של שלושה מספרים עוקבים מצטמצם בסופו של חשבון לשש

לדוגמה,

10+11+12=33=6

994+995+996= 2985=24=6

ובהמשך אותו עמוד מסופר על אב כנסייה בשם היפוליטוס, בן המאה השלישית לספירה, שכתב ספר שעוסק בהפרכת אמונות טפלות, שבו הוא מתנגד ל"חישוב פיתגוראי" שבו השתמשו בימיו לניבוי העתיד. חישוב זה נעשה באמצעות חיבור הערך המספרי של אותיות שמו של אדם וצמצומו לספרה אחת. 

 מחבר הספר מסכם במסקנה שהשימוש בשיטות שכאלה קדום בהרבה לסיפורים אלה, ושמקורו באריתמטיקה הפיתגוראית.

האמת על הזוגיים

מפליא אותי שמערבבים מספרים עם גאומטריה, כמו שעשו חסידי פיתגורס, או עם דת כמו שעשו המקובלים, או עם פסיכולוגיה כמו שעושים בנומרולוגיה, אבל מדוע נלין עליהם אם הערבוב עם מיניות בנוי בתוך תורת המספרים עצמה באבחנה בין זוגיים לאי זוגיים?

בדרך כלל אנחנו רגילים לייחס למילה זוג שבביטוי "טור המספרים הזוגיים" משמעות של זכר ונקבה, אבל האמת היא שמקורו בחיבור כל מספר שעל טור המספרים הטבעיים עם עצמו

וכך:

1+1=2

2+2=4

3+3=6

4+4=8

5+5=10

6+6=12

7+7=14

8+8=16

9+9=18

וכן הלאה עד שמתעייפים.

כלומר, "טור המספרים הזוגיים" נברא לסירוגין מזוגות חד מיניים, זכרים בלבד, או נשים בלבד, ולעולם לא מזכר ונקבה ביחד.

לעומת זאת בסיפור המקראי על יצירת האדם מומחש רעיון בריאת האחד מאפס (במקביל לבריאת העולם) בשיטת יש מאין: חווה נבראה מצלעו של הריבוע שנוצר באמצעות הכפלת אדם הראשון את עצמו בעצמו. וכל בני האדם נולדו מזוג הטרוסקסואלי ראשון זה כמו שכל המספרים נולדים מן האחד. 

אפלטון בדיאלוג "המשתה" מספר שאדם הראשון היה אנדרוגינוס בעל ארבעה זוגות גפיים וזאוס הפריד אותם לשנים,ומאז הזכר והנקבה מחפשים את השלמתם זה בזה. גרסה דומה לזו מופיעה במקורותינו: "בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון - אנדרוגינוס בראו ... אמר ר' שמואל בר נחמן: בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון דיו פרצופים בראו, ונסרו ועשאו גבים - גב לכאן וגב לכאן".(בראשית רבה פרשה ח , סימן א).

ההבחנה המטפורית בין זוגיים לאי זוגיים מקורה ככל הנראה אצל חסידי פיתגורס, שייחסו יכולת הולדה למספרים שנים (הנקבי הראשון) ושלוש (האי זוגי, או הזכרי הראשון). המספר שש נולד מהכפלה (עיבור) של שנים בשלוש, ולכן השש קיבל משמעות של סמל לנישואין, כמו גם המספר חמש שהוא חיבור של שנים ושלוש.

עניין זה מתואר בהרחבה אצל פילון האלכסנדרוני, בספר בריאת העולם, סעיף 99 בתרגום יצחק מן, ירושלים, תרצ"א:

"הנה כל-כך גדולה היא הקדושה הטבועה במספר שבע, שיש לו עמדה מיוחדת ביחס לכל המספרים שבעשר. משום שביניהם יש שמולידים ואינם נולדים ויש שנולדים ואינם מולידים, ויש ששתי התכונות להם: גם מולידים וגם נולדים. ברם המספר שבע לבדו איננו נראה בשום קבוצה משלוש אלה. ואת המשפט הזה עלי לחזק בהוכחה: היחידה, אמנם מולידה כל המספרים בזה אחר זה, ואינה נולדת מן שום מספר כל-עיקר. ברם המספר שמונה נולד מארבע פעם שתים ואינו מוליד שום מספר מאלה שבתוך העשר. אולם המספר ארבע שוב שייך לשורה של שניהם: גם של האבות וגם של התולדות. כי הוא מוליד אמנם את המספר שמנה בהתהוותו פעמים אבל נולד משתים פעם שתים. ויחיד הוא המספר שבע כפי שאמרתי שבטבעו לא להוליד ולא להולד". 

ראו:

זכר ונקבה

מנחם נאדל

Beit Mikra: Journal for the Study of the Bible and Its World /

  בית מקרא: כתב-עת לחקר

המקרא ועולמו 

כרך כג‎, חוברת א (עב‎) (תשרי-כסלו תשל"ח), 

pp. 80-85

Published by: Bialik Institute, Jerusalem /מוסד ביאליק, ירושלים 

סכום המספרים עד למספר כלשהו

את סכום המספרים עד למספר אי זוגי כלשהו ניתן לחשב באמצעות הכפלתו במרכזו

1.1=1

3.2=6

5.3=15

7.4=28

9.5=45

11.6=66

את סכום המספרים עד למספר זוגי כלשהו ניתן לחשב באמצעות הכפלת חציו במספר שמעליו

2:2=1; 1.3=3

4:2=2; 2.5=10

6:2=3; 3.7=21

8:2=4; 4.9=36

10:2=5; 5/11=55

פרפ' מאיר בר אילן דן בספרו "נומרולוגיה מקראית"  בסדרת המספרים היורדת של הפרים שצריך להקריב בחג סוכות: ביום הראשון - 13, בשני – 12, בשלישי – 11 פרים... בשביעי שבעה:

13+12+11+10+9+8+7=70

ניתן לחשב את מספר הפרים על ידי חיבור אברי הקבוצה זה לזה, או באמצעות חישוב מקוצר  - הכפלת המספר שבמרכז (10) במספר הימים:

7.10=70

פר בגימטריה 280 ובספירה ללא האפס 28, שהוא מספר מושלם. מספר מושלם לפי ההגדרה של הפיתגוראים הוא מספר ששווה לסכום המספרים שמחלקים אותו כך שהתוצאה היא מספר שלם:

28=1+2+4+7+14

ההבדל שבין התבוננות לבין מחשבה אודות ההתבוננות

נדמה שלמוח האנושי קשה להתבונן במספרים בלי להוסיף להם משמעויות. לאורך ההיסטוריה יוחסו למספרים שונים משמעויות שונות, ואף הומצאו גימטרייה ונומרולוגיה כענפים של תורת המספרים, שעיקר עניינם במשמעות של המספרים ולא בהתבוננות בהם. מי שמתעניין בתולדות הרעיונות ודאי ישמח לגלות שהמשמעות של מספרים מולידים מופיעה במקביל הן בתנ"ך והן אצל תלמידי פיתגורס. כל האנשים הם עותקים משוכפלים של הזוג המקראי הראשון, אדם וחווה, שנבראו מבלי שנולדו, כשם שכל המספרים הם עותקים משוכפלים של המספר המקורי הראשון. אולי מכאן ההסבר לצורתו של ה 1 שנראה כמו וו שכל המספרים האחרים תלויים עליו. אצל תלמידי פיתגורס מיוחסת משמעות נשית למספרים הזוגיים ומשמעות גברית לאי זוגיים. המספר שש הוא מכפלת המספר הנשי הראשון, שניים, במספר הגברי הראשון, שלוש... לפיכך ראו הפיתגוראים במספר שש סמל של נישואים.

אותיות

כאשר אנחנו סופרים את כמות היחסים של כל אחת מ 22 אותיות האלפבית עם כל האותיות האחרות אנחנו מקבלים, כתוצאה, את המספר 231.

התייחסות ראשונה לעניין זה נמצאת בספר יצירה פרק ב (ז):

אָלֶף עִם כֻּלָּם וְכֻלָּם עִם אָלֶף, בֵּית עִם כֻּלָּם וְכֻלָּם עִם בֵּית, חוֹזְרוֹת חֲלִילָה; נִמְצָא – כָּל הַדִּבּוּר יוֹצֵא בְּמָאתַיִם וּשְׁלֹשִׁים וְאֶחָד שְׁעָרִים".

המספר 231, למי שלא שם לב, מכיל, בסדר אחר, את תחילת טור המספרים הטבעיים: אחד שניים שלש. 

מדוע יש 22 אותיות באלפבית העברי? האם מדובר בחיקוי של תרבויות שכנות, בהעתקה מהאלף בית הפיניקי, או שמא יש לתופעה זו הסבר מקורי עברי, שהרי בעברית האותיות הן גם מספרים.

המנעד של ערכי האותיות א-ת הוא מאחד עד ארבע מאות. אל"ף עד ת"ו הוא גם מטבע לשון שמשמעותו מן ההתחלה ועד הסוף, שמשמעותו עשייה שלמה. בספר בראשית (טו, יג) האל מגלה לאברהם אבינו שגלות מצרים תארך ארבע מאות שנה וזו השלמה או ריצוי של עונש, מערת המכפלה נקנתה בארבע מאות שקל, וזו השלמה של מעשה בעל משמעות היסטורית. 

סכום הספרות של 22 האותיות הוא 4. התוכן של ארבע, סכום המספרים מאחד עד אליו, הוא עשר

 (1+2+3+4). עשר הוא הכל, הוא השלמה של מסע המספרים המקוריים, כי כל המספרים האחרים נובעים מעשרת המספרים הראשונים.

המספר 22 הוא הגלגול ה-3 של המספר 4 (גלגול ראשון - 4 ; שני - 13; שלישי- 22). המעורבות של 3 ושל 4 ביצירת מספר אותיות האלף בית מזכירה את הפסוק (משלי ל, יט): שְׁלֹשָׁה הֵמָּה נִפְלְאוּ מִמֶּנִּי, וְאַרְבָּעָה לֹא יְדַעְתִּים. דֶּרֶךְ הַנֶּשֶׁר בַּשָּׁמַיִם, דֶּרֶךְ נָחָשׁ עֲלֵי צוּר, דֶּרֶךְ אֳנִיָּה בְלֶב יָם, וְדֶרֶךְ גֶּבֶר בְּעַלְמָה. הקשר זה מוסיף לאלפבית משמעות של פלא ושל מגע עם הבלתי ידוע. 

ביבליוגרפיה

ספר יצירה

ספר האחד מאת הראב"ע

ספר יסוד מספר מאת הראב"ע

אמר אברהם המחבר - פרקים על פירושי הראב"ע מאת  ד"ר  אברהם בן עזרא

אספקלריה ערכים: מספר, מספר אחד...מספר עשרה ואילך

ברייתא מעשה תורה, מיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720 - 1797) 

נומרולוגיה פרשת ויצא: פרו"פ מאיר בר-אילן

רוביק רוזנטל / שבועה אחת ויחידה

התבוננות במספרים בנושא מגן דוד מאת ד"ר אשר אדר

תורת המספרים הראשוניים, פרופ' עדו קנטר

זיכרון יוצא דופן למספרים

 Introduction to 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics by                                                                       Reuben Hersh

Iamblichus, The Theology of Arithmetic

The nothing that is: a natural history of zero by Robert Kaplan,1999

"All Is Number"? "Basic Doctrine" of Pythagoreanism Reconsidered,  Leonid Ja. Zhmud', Phronesis, Vol. 34, No. 3 (1989), pp. 270-292

Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers

A History of GreekMathematics, Volume 1 by Thomas Heath 

from p. 65 - Pythagorian Arithmetic

Theoretic Arithmetic in Three Books

by Thomas Taylor

Hopper, Vincent Foster. Medieval number symbolism: its sources, meaning, and influence on thought and expression. Courier Corporation, 1938.