ספרי התבוננות במספרים הגיע בשלום לאתר הספרייה הלאומית

אני שמח לבשר לקוראי הבלוג הזה כי ספרי "התבוננות במספרים" [באנגלית] הגיע בשלום לאתר הספרייה הלאומית
וניתן לקוראו בקישור הבא:

http://rosetta.nli.org.il/delivery/DeliveryManagerServlet?dps_pid=IE66939576

פילון האלכסנדרוני אודות המספר שבע

פילון האלכסנדרוני (בערך 15 לפנה"ס עד בערך 45 לספירה) כתב מאמר נרחב על פלאיות המספר שבע ובתוכו כלול המראה הבא: 

מיקום	1	2	3*	4**	5	6	7***
x2	1	2	4	8	16	32	64
x3	1	3	9	27	81	243	729
x4	1	4	16	64	256	1024	4096
x5	1	5	25	125	625	3125	15625

הערות:
* במקום השלישי יהיה תמיד ריבוע
** במקום הרביעי יהיה תמיד מספר מעוקב
*** במקום השביעי יהיה תמיד ריבוע שהוא גם מספר מעוקב: 
64 הוא ריבוע של 8 ומעוקב של 4
729 הוא מעוקב של 9  וריבוע של 27
4096 הוא ריבוע של 64 ומעוקב של 16
15625 הוא ריבוע של 125 ומעוקב של 25 

מקור:

Horst R. Möhring, ‘Arithmology as an Exegetical Tool in the Writings of Philo of Alexandria’, Society of Biblical Literature, Seminar Papers Series (1978), pp. 191-227.

http://ccat.sas.upenn.edu/rak/courses/999/moehring.htm

פעולות החשבון כבסיס לסווג המספרים

פעולת החילוק משמשת כבסיס לחלוקת המספרים לזוגיים (מתחלקים למספרים שלמים) ולאי זוגיים (שאינם מתחלקים למספרים שלמים), לראשוניים (שמתחלקים באחד ובעצמם) ולמורכבים (שמתחלקים גם במספרים אחרים). המילה מורכבים  היא מילה נרדפת למילה מחוברים, שכרוכה בפעולת חיבור. היא פחות מוצלחת ממנה מפני שהיא מסתירה את הקשר שבין הסיבה לבין התוצאה. פעולת החילוק היא גם הסיבה לקיומם של השורשים והשברים.

בזכות פעולת החיבור יש לנו מספרים משולשים, שהם סכומי המספרים מאחד ועד אליהם.

בזכות פעולת החיבור של תשע לכל אחת מהיחידות יש לנו גלגולים, בזכות פעולת החיבור של שלש לכל אחד משלשת המספרים הראשונים יש לנו זרמים (147, 258, 369). 

בזכות פעולת החיבור יש לנו את סכומי הספרות של מספר, שבזכותם אנו נזכרים בכל פעם מחדש שלא חשוב מה גודלו של מספר הוא תמיד יהיה העתק חיוור של אחת מעשר היחידות הראשונות.   

סדרה חשבונית בנויה על חיבור וסדרה הנדסית בנויה על כפל. 

בזכות פעולת החיסור יש לנו מספרים שליליים.

פעולת הכפל משמשת כבסיס למספרים בריבוע, למעוקבים, לחזקות ולמספרים מלבניים (מכפלות של מספרים זוגיים).

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו משוואות, שבהן כל נעלם הוא מעין מנעול שממתין למפתח שמתאים לו.

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו גימטריות שבהן מספר שווה לאות ואות למספר. 

מילים נגזרות משמות של מספרים בלועזית

uni  היא מילה נרדפת ל one (אחד) ומקורה במילה הלטינית unus. לאחד זה באנגלית to unite , וזה מתורגם יפה מאד כשמדובר באו"ם, שהוא אומות מאוחדות, אבל כשמדובר בארצות הברית התרגום מרחיק מדיי מן המקור, שהיה צריך להיות ארצות מאוחדות.

הפרק הראשון בספרם של

John H. Conway & Richard Guy

The Book of Numbers

שיצא לאור בשנת 1996, מוקדש כולו לעיון בחלק מן המלים הרבות שנגזרות משמות של מספרים באנגלית כמו מלים שכוללות בתוכן את:

Mono

Dia, Du,

Bi

Tri

Octo

Deci 

מספרים יכולים לשקר

צ'רלס זייף מציג ראיות להולכת שולל באמצעות מספרים בסרט וידיאו שבו הוא דן בספרו שעוסק באמנות ההונאה באמצעות מספרים

Charles Seife, "Proofiness: The Dark Arts of Mathematical Deception"

*לדבריו, מספרים יכולים לשקר - בדרך כלל בטעות, אבל לעתים גם בכוונת מכוון.

*באופן גס ניתן לומר שהציבור אינו בקי במספרים, ולכן מידע שמוצג לציבור כמידע שמתבסס על מספרים עושה על הציבור רושם יותר אמיתי ממה שהוא באמת.

*ספירה מועדת לטעויות ולראייה ספירות חוזרות של קלפיות בחירות.

*סקרי דעת קהל יכולים לתת תוצאות (מספריות) הפוכות בהתאם לסוגי השאלות שהם שואלים.

*רוב התגליות המדעיות שמתפרסמות אינן נכונות.  

כמה סוגי מספרים של הפיתגוראים

לסדרת המספרים הזוגיים באופן זוגי , שכל איבר בה גדול פי שניים מקודמו

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

יש תכונה מיוחדת לפיה סכום המספרים שלפני מספר מסוים שווה לאותו מספר פחות אחד

1+2= 4-1

1+2+4+8= 16-1

ותכונה נוספת:

1.16=16

2.8=16

4.4=16

=

לסדרת המספרים האי זוגיים באופן זוגי

2, 6, 10, 14, 18, 22

שאותה אנחנו יוצרים באמצעות הכפלה בשניים של טור המספרים האי- זוגי:

1,3,5,7,9,11

יש תכונה מיוחדת:

2+10=6.2

6+14=10.2

מקור:

Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans 

***

להלן הערה של

Thomas L. Heath

בספרו:

A Manual of Greek Mathematics

ההבחנה של הפיתגוראים בין סוגי הסוגים של הזוגיים והאי זוגיים (שמופיעה גם אצל אפלטון) לא העסיקה את אוקלידס כי היא איננה מוחלטת,  שהרי יש מספרים ששייכים ליותר מסוג אחד, כמו לדוגמה המספר עשרים וארבע ששייך גם לזוגיים (שזה מובן מאליו) וגם לאי זוגיים, כי הוא המכפלה של האי זוגי שלוש עם הזוגי שמונה.

שמות המספרים בעברית תואמים ברובם לשמות המספרים באכדית

להלן ממצאים מן המילון האכדי:

šinā  - שנים [šanû במשמעות של חזרה]
šittu -שתיים

šalāš-שלוש šalāšat  שלושה

erbē- ארבע. מעניינת הקרבה למילה erbû   שהוא החרק הנקרא בעברית ארבה, שהוא מעין סמל לריבוי כי הוא מופיע בלהקות של מיליונים.

ḫamiš- חמש

šediš- שש, šūš - שישים, šeššeret - שש עשרה, ūm šešše - יום שישי. שש בכתב יתדות: שתי שלשות בשתי שורות

sebē - שבע (קירבה מעניינת לאנגלית seven)

בכתב יתדות שתי שלשות ועוד אחד בשלש שורות.

samānē- שמונה samānšer - שמונה עשרה,  samānā- שמונים

tešē - תשע

ešer- עשר (ašru - מקום!)ešēru - לסדר!

meʾat- מאה

šapattu - יום שבת, בא ממילה שמשמעותה לַשֶבֶת

mīnu- מספר (הצליל של מילה זו דומה למינוי, מנייה, למנות).

lā mīnu - לא ניתן למנייה, לאין מספר.

השפה האכדית נקראת על שם עיר הבירה שלהם אכד שדומה דמיון מפתיע למילה העברית אחד. אכד מוזכרת פעם אחת בתנ"ך: "ותהי ראשית ממלכתו (של נמרוד) בבל וארך ואכד וכלנה בארץ שנער" (בראשית י, י).

מדרשי השמות של שמות המספרים (שנים- שונה, שמונה- שמן וכן הלאה) מעידים על יכולת ההמצאה של הדרשנים, אבל, ככלל, שמות המספרים הם בבחינת מלים מיובאות, שאולי יש להן מובן הולם באכדית, אבל לדוברי עברית הן בבחינת מילים אטומות.  

המספרים האי זוגיים וריבועיהם

בטור המספרים האי זוגיים

1-3-5-7-11

...

חיבור של שני המספרים הראשונים שווה לריבוע של 2

חיבור של שלשת המספרים הראשונים שווה לריבוע של 3

חיבור של ארבעת המספרים הראשונים שווה לריבוע של 4

וכן הלאה עד אינסוף

מקור: ספר האחד לרבי אברהם אבן עזרא

אפשר לראות בצילום שהשבע (הגולות האפורות) בנוי ממרכז (הגולה הרביעית) שלצדו שתי קבוצות שבכל אחת מהן יש אותו מספר (3) של גולות. זה  נכון לגבי כל המספרים האי זוגיים. התופעה הזאת נקראת בית, או  

2X+1  

 המעבר מריבוע לריבוע שמעליו נעשה באמצעות הוספת הבית שמספר היחידות שבX שלו זהה למספר שבריבוע. בצילום המספר בריבוע הוא 3. מוסיפים לו שתי קבוצות של שלש (שני X) ומספר מרכזי כלומר 7=3+3+1

מיכאל קוסטה בספרו חתך הזהב חותם שלמה ומגן דוד מתייחס בהרחבה לתופעה זו. הוא גם מתפעל מן העובדה שהריבועים נכנסים אחד בתוך השני כמו בובות רוסיות. ואולי ההשראה לייצור אותן בובות באה מתופעת גידול ריבועי המספרים.

אם נתבונן שוב בחיבור המספרים האי זוגיים נראה

 דבר מעניין:

0+1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

1+3+5+7+9+11=36

הריבוע הראשון נוצר מחיבור של אפס עם אחד, ויוצא שהאפס הוא מספר אי זוגי, כמו כל שאר המרכיבים בתצוגה זו.
***

לעומת זאת על טור המספרים הטבעיים האפס הוא מספר זוגי: הוא המפריד בין החיוביים לשליליים,  ובמיקומו בין אחד למינוס אחד - שהם אי זוגיים - הוא חייב להיות זוגי, כי מה שמאפיין כל מספר זוגי הוא שהוא קטן בשניים מהמספר הזוגי שמעליו, וגדול בשניים מהמספר הזוגי שמתחתיו. 

נקודות

אפשר לסדר ארבע נקודות בשורה

. . . .

כאשר מסדרים מספר כלשהו בשורה יש לו תמיד נקודה אחרונה, נקודה שלפני האחרונה, נקודה שלפניה וכן הלאה. לפני הנקודה הראשונה אין כלום, ולאין כלום הזה קוראים אפס. אחרי הנקודה האחרונה אין כלום, ולאין כלום הזה קוראים אפס.

כאשר מסדרים מספר נקודות כלשהו במעגל כל נקודה יכולה להיות ראשונה או אחרונה ותמיד יש נקודה לפניה ונקודה אחריה, אבל אין לאפס מקום.

אפשר לסדר ארבע נקודות בעמודה

.

.

.

.

כאשר מסדרים מספר כלשהו בעמודה יש לו תמיד נקודה אחרונה, נקודה שמעליה, נקודה שמעליה וכן הלאה. לפני הנקודה הראשונה אין כלום ולאין כלום הזה קוראים אפס. אחרי הנקודה האחרונה אין כלום ולאין כלום הזה קוראים אפס.

אפשר לסדר ארבע נקודות בשתי שורות

.

. . .

ולהפך

. . .

.

או

. .

. .

כאשר מסדרים מספר כלשהו בשורות כך שמספר נקודותיהן שווה למספר השורה מקבלים את ההמחשה הגרפית לריבוע של המספר
. . .
. . .
. . . 

אנחנו לומדים בעל פה, בלי להבין, מה זה מספר "בריבוע",  אבל זה נראה לגמרי אחרת כשרואים את הריבוע שנוצר מסידור נקודות בשורות שמספרן שווה למספר העמודות.

רבי אברהם אבן עזרא הסביר בעמוד 2 בספרו "ספר המספר" את המונח "בריבוע": "...ותכפול תשעה על עצמו, והטעם להיותו מרובע [המונח העכשווי "בריבוע" נקרא "מרובע" בפי הראב"ע)]- אורכו כרוחבו".

כשמתבוננים בריבוע [הכחול] של השלוש בריבוע רואים שהוא מכיל את הריבוע [האדום] של השניים בריבוע (שבפסקה שמעליו), ואילו הריבוע של השניים בריבוע מכיל את הריבוע של האחד בריבוע שהוא הנקודה האחת השחורה למעלה משמאל. על מנת לעבור מריבוע לריבוע שמעליו צריך רק לצייר נקודות משמאל לריבוע במקביל לנקודות הקיימות, לצייר נקודות מתחת לריבוע במקביל לנקודות הקיימות... ולהוסיף נקודה.

הנה כך:

  ולמרבית הפלא כל המספרים בריבוע מסתדרים להם לאורך חוצה הזווית.
*

כשמציירים את הספרה 1,  מתחילים את הציור מנקודה, שגם היא יכולה לסמן ולייצג דבר אחד. הנקודה היא כמו הולוגרמה של המספר אחד. ומצאתי בעמוד ג בספר 'ברייתא מעשה תורה', המיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720-1797):

"אות י הוא היסוד לכל האותיות... כי אי אפשר לכתוב שום אות בלא נקודת היוד תחילה. והוא בכל האותיות. והם בו בכוח... ולכן גם מספר עשר יסוד לכל מספר, כי מספר עשר ממקורו יצא... כשנתפשט היו"ד לאורכו נעשה מהנקודה קו כשהוא צורת ו', וכשנתפשט גם לרוחבו נעשה צורת ד', ומהם נתפשטו ונעשו אותיות של שם הויה ויתר האותיות". 

ביבליוגרפיה

ספר יצירה

ספר האחד מאת הראב"ע

ספר יסוד מספר מאת הראב"ע

אמר אברהם המחבר - פרקים על פירושי הראב"ע מאת  ד"ר  אברהם בן עזרא

אספקלריה ערכים: מספר, מספר אחד...מספר עשרה ואילך

ברייתא מעשה תורה, מיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720 - 1797) 

נומרולוגיה פרשת ויצא: פרו"פ מאיר בר-אילן

רוביק רוזנטל / שבועה אחת ויחידה

התבוננות במספרים בנושא מגן דוד מאת ד"ר אשר אדר

תורת המספרים הראשוניים, פרופ' עדו קנטר

זיכרון יוצא דופן למספרים

 Introduction to 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics by                                                                       Reuben Hersh

Iamblichus, The Theology of Arithmetic

The nothing that is: a natural history of zero by Robert Kaplan,1999

"All Is Number"? "Basic Doctrine" of Pythagoreanism Reconsidered,  Leonid Ja. Zhmud', Phronesis, Vol. 34, No. 3 (1989), pp. 270-292

Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers

A History of GreekMathematics, Volume 1 by Thomas Heath 

from p. 65 - Pythagorian Arithmetic

Theoretic Arithmetic in Three Books

by Thomas Taylor

Hopper, Vincent Foster. Medieval number symbolism: its sources, meaning, and influence on thought and expression. Courier Corporation, 1938.