תווים כריבוע

 

דו+רה+מי+פה+סול+לה+סי+דו+סי+לה+סול+פה+מי+רה+דו

1234567654321

שימו לב לצבעים: יש בפינה השמאלית העליונה דו אחד אדום מתחתיו שני רה סגולים, מתחתיהם שלושה מי שחורים.... על האלכסון של הריבוע יש סי צהובים ומתחתיהם הסדר מתהפך עד שיש לנו בפינה הימנית התחתונה דו

===

====

אני לא יודע תווים, לא מנגן ולא מבין במוזיקה. כשהייתי ילד למדתי דו רה מי... ישר והפוך, כמו שיר. המנגינה עולה מדו לדו ואחר כך יורדת באופן סימטרי ואת המבנה הזה של סולם הטונים [שמזכיר שורה משיר של יעקב פיכמן: "וצליל עולה יורד קצוב"] יש גם בסולם הפיזי, גם בריבוע הגיאומטרי וגם בריבועי המספרים שמורכבים מאחדים בסדרה שמתחילה מ

11X11=121 

111X111=12321 

====

====

התובנה הזאת מוקדשת לידידי המוזיקאי אלי בנאקוט, והיא באה לי בעקבות שיחה איתו על המוזיקה כמספרים.

הערה של NINE: הקשר בין ששת ימי בראשית לסולם הצלילים (דו) בין יום ראשון לשני יש מרווח שלם. של טון. (רה) בין יום שני לשלישי יש מרווח שלם. של טון. (מי, פה) אבל יום שלישי מחולק לשניים. גם בריאת היבשה וגם בריאת הצמחים. פעמיים "ויאמר... כי טוב". ואין ביניהם מרווח. (יש מה שנקרא חצי טון) בדיוק אותו כנ"ל בחצי השני של השבוע. האיור המצורף ממחיש הכל.

אם כך, האם מקורו של הסולם המז'ורי (בעברית: "סולם רביב") - במוסיקה היוֹנית, היווָנית? או שמא מקורו בעידן קמאי עוד יותר?...

האיחוד הדיגיטלי של האותיות והמספרים

הדתיים מתייחסים אל כתבי הקודש שלהם כאל פרטיטורה להתנהלותם בחיים. כתבי קודש אלה מורכבים מאותיות. עולם האותיות מקביל לעולם המספרים שעליו מבוסס המדע.

ההתבוננות בתנ"ך וההתבוננות במספרים החלו בערך באותו זמן, בסביבות אמצע האלף הראשון לפני הספירה. מאז עברו כאלפיים וחמש מאות שנים, שבמהלכן התמחו המאמינים באותיות והמדענים במספרים. ובין המדע לבין האמונה נוצרה תהום שהתרחבה והתרחבה ככל שחלף הזמן.

כל זה השתנה, לכאורה, בלי שנשים לב, ביום ההולדת של העידן הדיגיטלי, ב 15 למרץ 1679, כי בתאריך זה פרסם גוטפריד ווילהלם לייבניץ את מאמרו על החשבון הבינארי. המצאה זו, שמבוססת רק על שני מספרים, על האפס ועל האחד, מאפשרת למחשב הדיגיטלי בן ימינו להפוך אותיות ומספרים למספרים בינאריים, ולהפוך מספרים בינאריים לאותיות ומספרים.

נדמה לי שאני מקליד טקסט והוא מיד מופיע לי על המסך, אבל בדרך לתוצאה הזאת המחשב הספיק, במהירות בלתי נתפסת, להמיר את הטקסט למספרים ולהמיר את המספרים לטקסט.

בנוסף המחשב ממיר למספרים גם את התמונה (הצילום) ואת הקול (את המוזיקה). מבחינתו ארבעת העולמות האלה הם מספרים.

האיחוד הזה מזכיר במקצת את החזון של הפיזיקאים לגלות את השדה שמאחד את הכבידה, הכוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החלש והכוח הגרעיני החזק.

והנה, מתחת לאפם של הפיזיקאים, איחד לייבניץ (וכנראה בלי שהוא עצמו שם לכך לב) את ארבעת הכוחות הנפרדים של האותיות, המספרים, האודיו והווידאו.

מספרים במוסיקה אלקטרונית

http://www.youtube.com/watch?v=VjN_F0hqtzQ&list=RDXQKGWw-ZTaw

"מספרים" הוא שם של יצירה בת כשלוש דקות משנת 1981 של להקת המוסיקה האלקטרונית הגרמנית קראפטוורק

פיתגורס ומוזיקה - כתב יד מאוייר מן המאה ה- 15

מקור:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unibibliotek_Salzburg_Artes_liberales_Musica.jpg

הטטרקטיס של רפאל

הטטרקטיס של פיתגורס מצויר בגיר על לוח לרגלי דמותו של פיתגורס, פרט קטנטן מתוך ציור קיר ענק שנמצא בארמון האפוסטולי שליד כיכר פטרוס הקדוש בקריית הוותיקן. הציור צויר בשנת 1510 והוא נקרא בשם האסכולה של אתונה. צייר אותו הצייר האיטלקי רפאל (1483 - 1520). מתחת לטטרקטיס הספרה הרומית X, עשר, שהרי בטטרקטיס מופיעים עשרת המספרים הראשונים. מעל לטטרקטיס המחשה לקשר שבין מוסיקה למספרים, שאת גילויו מייחסים לפיתגורס.

מקור: ויקיפדיה. ערך: אסכולת אתונה

על הקשר שבין מוסיקה למספרים

תמונה: חיתוך עץ שבו נראה פיתגורס בוחן את התיאוריה שלו על הקשר שבין מוסיקה למספרים על כלי נגינה מסוגים שונים. מתוך ספר על תיאוריה של מוסיקה מאת פרנצינו גאפוריו שפורסם בסביבות שנת 1492 . מקור:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gaffurio_Pythagoras.png

***
התייחסות חשובה במיוחד לטטרקטיס של הפיתגוראים כלולה בפסקאות 92 עד 109 בספר נגד הלוגיקנים מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים 160 - 210 לספירה. תרגמתי מאנגלית חלק ממנה.

"אבל נקודת המוצא במבנה של הכולות היא המספר. משמעות הדבר היא שניתן להתייחס להיגיון, שלפיו אנו שופטים את כל הדברים, גם כאל מספר, שהרי המספר הוא חלק מן ההיגיון. וכאשר הפיתגוראים מבליטים עניין זה הם לעתים רגילים לומר שהכל הוא כמו מספר. בפעמים אחרות, כאשר נשבעו את שבועת הרופאים, אמרו: האיש שהוריש לנו את הטטרקטיס, שהוא המעין שבו שרויים השורשים של הטבע הנצחי. במלים "האיש שהוריש לנו" הם התכוונו לפיתגורס (כי הם הפכו אותו לאל) ובמילה "טטרקטיס" הם התכוונו למספר מסוים, שהוא התוצאה של חיבור ארבעת המספרים הראשונים שמייצר את המספר המושלם ביותר, עשר.  ומספר זה הוא הטטרקטיס הראשון, והוא נקרא "המעין של הטבע הנצחי" כי היקום כולו, לדבריהם, מנוהל בהתאם להרמוניה. והרמוניה היא מערכת של שלושה מרווחים מוזיקליים, הרביעי, החמישי ,והאוקטבה, [השמיני], והפרופורציות של שלושת המרווחים האלה נמצאות בארבעת המספרים שהוזכרו קודם - אחד , שניים, שלוש וארבע. כי הרביעי הוא ביחס של 4:3, החמישי ביחס של 3:2, והאוקטבה ביחס של 2:1 . ומכאן המספר ארבע, בהיותו גדול בשליש מהשלוש (שכן הוא בנוי מן השלוש עצמו בתוספת שליש מהשלוש [כלומר בתוספת אחד] מכיל את המרווח של הרביעי; שלוש, בהיותו גדול בחצי מן השנים, כולל את השניים בתוספת חצי ממנו [כלומר בתוספת אחד] מגלה את המרווח של החמישי; וארבע, שהוא פעמיים שניים, וגם שניים שהוא פעמיים  אחד, ולכן הם מסוגלים להכיל את האוקטבה. לפיכך, הטטרקטיס מספק את הפרופורציות של המרווחים שהוזכרו, והמרווחים יוצרים  את ההרמוניה המושלמת, והכל מנוהל בהתאם להרמוניה מושלמת, ובזכות זה הם קראו לזה  המעין שבו שרויים  השורשים של הטבע הנצחי. חוץ מזה, הגשמי ושאינו גשמי (שממנו הכל נובע) נתפסים באמצעות היחסים שבין ארבעת המספרים האלה. כי אנו יוצרים קו, שהוא אורך בלי רוחב, מתנועת הנקודה, ואנו יוצרים רוחב, שהוא סוג של שטח ללא עומק, מתנועת הקו, ומתנועת השטח מתהווה הגוף המוצק. הנקודה מתאימה ליחידה, שאינה ניתנת לחלוקה (וכמוה גם הנקודה), והקו מתאים למספר שניים, כי הקו מגיע ממקום כלשהו, כלומר מנקודה לנקודה וממנה לנקודה אחרת. ומתאים לגוף המוצק המספר ארבע, כי אם מעל לשלוש נקודות נתלה נקודה רביעית, יצרנו פירמידה, שהיא בעצם הצורה הראשונה של גוף מוצק. זה סביר, אם כן, שהטטרקטיס הוא המעין שממנו נובע הטבע של הכולות".

כמה הקבלות יהודיות לתורת המספרים של הפיתגוראים

א. לפי התנ"ך האור ואדם הראשון, כמו האחד אצל הפיתגוראים, נבראו יש מאין. אחרי האור נבראו החושך וההבדל של החושך מן האור; אחרי אדם נבראה חווה. החושך (שהוא העדר אור), וחווה, שנבראה מצלעו של אדם נבראו יש מיש. אותה משמעות יש לשנים אצל הפיתגוראים, שהוא מספר נקבי מספר של חושך, ומספר של הבדלה.

ב. בספר בראשית (א, כז) מסופר על בריאת האדם בצלמו ובדמותו של האל, שהוא אחד. בתורת המספרים של הפיתגוראים מדובר על בריאת המספרים בצלמו ובדמותו של האחד. כאן וכאן מדובר על מקור אחד שהוא אמת, ולו חיקויים רבים שהם אשליה. אם הפיתגוראים קראו את הפסוק שְׁמַע, יִשְׂרָאֵל: ה' אֱלֹהֵינוּ, ה' אֶחָד (דברים ו, ד) הם בטח הדגישו בקריאתם את האחד, ואם הם קראו את שם האל בן ארבע האותיות הם בטח הבליטו את ערכן המספרי: עשר, חמש, שש, חמש.

ג. כמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים יש לאחד מעמד מיוחד והוא המקור לכל המספרים האחרים, כך במסורת היהודית האות יו"ד "היא ראש לכל האותיות, שלא תמצא אות בעולם שלא תהיה יסודה יו"ד" (רמ"ק בפירושו לספר יצירה וכן גם הרב בן ציון בר עמי באתר האינטרנט שלו: [יו"ד] כוללת את הכל, וכל האותיות מורכבות ממנה ויונקות מתוכה). וכמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים האחד הוא נקודה בלי מקום, כך גם היו"ד אצל המקובלים (הרב בן ציון בר עמי, שם).

ד. כמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים המספרים מתחלקים לזוגיים ולאי זוגיים כך גם 12 האותיות הפשוטות שנזכרות בספר יצירה "הם ששה זכרים וששה נקבות" (רמ"ק בפירושו לספר יצירה משנה ה). אצל הפיתגוראים המספר חמש נחשב למספר של נישואין כי הוא תוצאה של חיבור בין המספר הזוגי הראשון (2) למספר הפרדי הראשון (3). רעיון דומה עומד מאחורי הספירה העממית של המספרים מאפס עד תשע: אפס, אחד, שנים, שלוש, ארבע, חמש, שש, שבע, שמונה, תשע - האפס האחד והשנים בלשון זכר, והשאר בלשון נקבה.

ה. רויכלין בספרו  de arte cabalisticaטען שתורת פיתגורס התבססה על תורת הקבלה. בין דוגמאותיו לטענה זו: הטטרגרמטון (שם האל בן 4 האותיות) השפיע על הטטרקטיס של הפיתגוראים [1] ועשר הספירות השפיעו על הדקאד, העשר של הפיתגוראים [2].

ו. הקבלה נחשבה לתורת סוד שאסור ללמדה למי שאינו שייך לחבורת הלומדים, וכך גם תורת הפיתגוראים.

ז.הרעיון בדבר המוסיקה של הכוכבים מופיע גם אצל הפיתגוראים וגם בתנ"ך: בְּרָן יַחַד כּוֹכְבֵי בֹקֶר וַיָּרִיעוּ כָּל בְּנֵי אֱלֹהִים (איוב לח, ז). אצל המלבי"ם (1879-1809) בפירושו לפסוק זה הקשר בין שתי התרבויות בולט במיוחד:

"דרך המלכים שבעת שמניחים אבן פינה ליסד בית מקדש מלך, יעמידו שרים ומנגנים לנגן ולהריע תרועה גדולה, על פי זה מצייר שבעת ירה אבן פינת הארץ רננו כל כוכבי בקר, וכל בני אלוהים הריעו, וזה הציור של הכוח המושך שיש לכל הכוכבים זה את זה ואל כדור הארץ, שערך מיתרי הכוח המושך הזה ויחוסו שווה עם ערך הקולות אשר בחכמת המוזיקה, וזה מראה הערך התבוני והייחוס והשיווי שיש בין הארץ ויתר הכדורים, שכל זה מורה על רוב החכמה וההשגחה".  

ח. בתרבות בת ימינו המספר מייצג משהו בעולם, אצל הפיתגוראים ואצל המקובלים מה שהוא מן העולם מייצג את המספר.

נדמה לי שגם משל המערה של אפלטון - שמדבר על חיי האשליה של האנושות שמחליפה את צל הדברים בדברים  - מושפע מן הרעיון הפיתגוראי שרק לאחד יש ממשות, בעוד שאר המספרים שחוזרים עליו אינם אלא השתקפויות או צללים שלו. זו גם המחשה להשפעת הפיתגוראים על אפלטון.

ט. העולם נברא במספר, כך לפי האסכולה של הפיתגוראים וכך גם בתנ"ך: 

ישעיה מ, כו            שְׂאוּ-מָרוֹם עֵינֵיכֶם וּרְאוּ מִי-בָרָא אֵלֶּה הַמּוֹצִיא בְמִסְפָּר צְבָאָם...

תהילים יט, ב            הַשָּׁמַיִם מְסַפְּרִים כְּבוֹד-אֵל וּמַעֲשֵׂה יָדָיו מַגִּיד הָרָקִיעַ

בזוהר תרומה (קסא, א) דכד ברא קוב"ה עלמא אסתכל בה באורייתא וברא עלמא

איוב לח, ה            מִי-שָׂם מְמַדֶּיהָ כִּי תֵדָע אוֹ מִי-נָטָה עָלֶיהָ קָּו

לפיכך, יש בה בתורת המספרים מעין הבטחה שהיא מובילה להבנה טובה יותר של העולם.

=

[1] on the art of the kabbalah, 1983,  by Martin and Sarah Goodman p. 157

[2] Johannes Reuchlin: Kabbalah, Pythagorean Philosophy and Modern Scholarship by Moshe Idel

פיתגורס והיהודים

 בול מועדים לשמחה 1960 בעיצובו של אשר קלדרון, שבו נראה דוד המלך מנגן על כינור בעל עשרה מיתרים. כיום יש לנו סולם של שבעה צלילים: דו, רה, מי, פה, סול, לה, סי, אבל לעתיד לבוא, לפי הקבלה, אחרי התיקון, יהיה לנו סולם של עשרה צלילים, שהם ביטוי לעשר הספירות.

פיתגורס גילה את הקשר שבין מוסיקה לבין

מספרים באמצעות ניסויים שערך עם מיתרים. השורש של המילה מיתר הוא יתר, שהוא גם שמה של הצלע השלישית במשולש ישר הזווית שהוא המשולש שמופיע גם במשפט פיתגורס. הוא נקרא יתר בגלל ששתי הצלעות האחרות יוצרות מעין קשת, והיתר, שהוא מיתר, הוא מה שמאפשר לקַשַת לירות בה. על פי מנשה בן ישראל [1]

 פיתגורס קיבל את הידע שלו מן היהודים, ואפילו היה יהודי בעצמו. רמז לידע הזה של היהודים, שממנו אולי שאב כאמור פיתגורס, יש בשמות של כמה מכלי הנגינה המקראיים: שלישים, שמינית ועשור. יש חוקרים שסבורים ששמות כלי נגינה אלה באו להם ממספר המיתרים שלהם. על כל פנים בשתי התרבויות, היוונית והעברית אנחנו רואים חיבור של מוסיקה מספר ומיתר. עדות נוספת על עומק הידע הסודי על הקשר שבין מוסיקה למספר שהיה לעברים במאות שלפנה"ס נוכל לראות בספר יהושע (ו, ד-ה):

"ושבעה כהנים ישׂאו שבעה שופרות היובלים לפני הארון וביום השביעי תסבו את העיר שבע

פעמים והכהנים יתקעו בשופרות. והיה במשך בקרן היובל כשמעכם את קול השופר יריעו כל

העם תרועה גדולה ונפלה חומת העיר תחתיה ועלו העם איש נגדו".

=

במסכת יומא (פרק א דף כ,ב ) מובע רעיון דומה לרעיון של פיתגורס על המוזיקה של הכוכבים: "דאמר רבי לוי מפני מה אין קולו של אדם נשמע ביום כדרך שנשמע בלילה מפני גלגל חמה שמנסר ברקיע כחרש המנסר בארזים... תנו רבנן: אלמלא גלגל חמה נשמע קול המונה של רומי ואלמלא קול המונה של רומי נשמע קול גלגל חמה. תנו רבנן: שלש קולות הולכין מסוף העולם ועד סופו ואלו הן קול גלגל חמה וקול המונה של רומי וקול נשמה בשעה שיוצאה מן הגוף וי"א אף לידה".
=
האחד קיבל אצל הפיתגוראים משמעות של אור, של טוב, של זכר. משמעויות אלה באות לידי ביטוי במנהג היהודי של הענקת הבכורה לבן הראשון (ולא לבת הראשונה). אפילו המילה בכור היא משרש ב.כ.ר שמכיל את אותן האותיות כמו השורש ב.ר.ך, שממנו באה המילה ברכה.  

=

[1]

בספר 'נשמת חיים' מאת ר' מנשה בן

ישראל כתוב בפרק כ"א [מאמר רביעי עמוד 248]: "אמונת הגלגול... מתייחס[ת] לפיתאגורס

היות שהוא חידשה לאחר שנתעלמה ונסתרה, וגם הוא [פיתאגורס], לדעת אליכסנדר

פוליסטור, למדה ושמעה מיחזקאל הנביא אשר היה רבו, כי החכמה המפוארת שהייתה לו

והסודות הנפלאות אשר בין צורותיו וציוריו

... מאין באו לו... אלא ודאי שרבו נביא ה׳ אשר קבל מסר לתלמידו ... אשר אמברוסימו,

חכם מחכמי אומות העולם, באגרת שליח׳

לאיריניאו גוזר ומקיים היות הסכמה כוללת היותו עברי• וקלימינטי אליכסנדרינו בספרו החמישי מאמת שנימול היה • וכך הוא האמת כי יהודי היה וכל מה שחבר גנב ולקח מתורתנו".

=
אני חושד גם שהפרדוכס של זנון היה במקורו יהודי. אמנם אינני יודע יוונית כך שאין לי מושג אם יש קשר צלילי בין המילים "אכילס" ו"צב", אבל בעברית יש, כמדומני, קשר ייחודי בין המילים המקראיות "צבי" ו"צב", כאשר הצבי הוא סמל המהירות והצב סמל האיטיות. 

התפתחות המספרים מן העשר אל האטום

   

בדרך כלל מנסים לתאר את התפתחות המספרים מכיוון האחד אל העשר, אולי בהשפעת הטטרקטיס הפיתגוראי, או בהשפעת עץ החיים של הקבלה. אבל במספרים ניתן לראות כל תופעה גם מן ההתחלה לסוף וגם מן הסוף להתחלה. נדמה לי שהמראה הזה הוא שהניע את דמוקריטוס (370- 460 לפנה"ס) להמציא את מושג האטום (א ביוונית שאינו; טומוס - נחתך),

היחידה שאיננה ניתנת לחלוקה. כי אם נניח שעשר הוא כל המספרים, הוא מתחלק לעשר יחידות, כאשר התשיעית מתחלקת בשלוש, השמינית - בארבע ובשניים... ואילו האחד, כל עוד הוא שלם, אינו מתחלק באף אחד. במלים אחרות המסע של המספרים הוא מן השניים, אבי החלוקה, אל האחד, אבי האחדות הבלתי מתחלקת.

טור המספרים הטבעיים

הביטוי טור המספרים הטבעיים מזכיר לי מיץ טבעי - מה כל כך טבעי בו? מספרים זה דבר מופשט, לא דבר טבעי. כך או כך, טור המספרים הטבעיים נוצר כאשר האחד מוסיף את עצמו אל עצמו שוב ושוב. זה לא ההסבר המקובל, אבל זה ההסבר שנראה לי הגיוני. כשאומרים נוסחה כמו פלוס אחד, או איקס פלוס אחד זה עוד משהו שצריך לשנן, כאילו לא די שמלמדים אותנו לשנן את טור המספרים הטבעיים מגיל הגן, באמצעות שירים ומשחקים כמו:

א. מאחורי ההר

אחת, שתיים, שלוש!

שם ישבו שלושה גמדים

אחת, שתיים, שלוש!

לא אכלו ולא שתו

אחת, שתיים, שלוש!

רק ישבו ופיטפטו

אחת, שתיים, שלוש!   

ב. בשיר השכונה של התרנגולים שכתב חיים חפר ושרו התרנגולים מוקדש למספרים הטבעיים בית שלם:

One two

Three allery

Four five

Six allery

Seven eight

Nine allery

Ten allery

One two three

ג. שלוש ארבע לעבודה שכתב וביצע אריק איינשטיין: הבוקר בא, הבוקר בא, אז תגיד תודה. שלוש ארבע, שלוש ארבע ולעבודה

ד. המשחק: אחת שתיים שלוש דג מלוח

ה. באמצעות משחק המחבואים מלמדים את הילדים לספור עד מאה, ורק אז הסופר מדקלם את המשפט: "אני יוצא לחפש".

יחס הזהב

יחס הזהב (או חתך הזהב) הוא שמו של המספר

  ... 1.6180339887

בתמונה: פסל בשם יחס הזהב מאת אנדרו רוג'רס מאוסטרליה שמוצב ליד קניון מלחה בירושלים משנת

2006. הפסל בנוי משלושים ושתים אבנים, כל אחת מהן שוקלת כששה טון.

גובה האבנים מצד ימין עד המרכז או מצד שמאל עד המרכז:

1, 1, 2, 3, 5, 8

הוא ההתחלה של סדרת פיבונאצ'י, שבה היחס בין שני מספרים סמוכים קרוב מאד ליחס הזהב. כל מספר בסדרה זו שווה לסכום שני קודמיו

2= 1+1

3= 2+1

5= 3+2

8= 5+3

לגילוי סדרה זו הייתה השפעה עצומה על אמנות, מוסיקה, ארכיטקטורה, והיא נתגלתה גם בתופעות בטבע כגון ביחסים בין אברי הגוף, ובאופן שבו מסודרים עלים של צמחים שונים.