שדות בתוך שדות

בדרך כלל אנחנו תופסים את המספרים כישויות נפרדות שניצבות זו לצד זו, או זו מעל לזו, אבל האמת היא שהמספרים מכונסים זה בתוך זה כמו שדות בתוך שדות, כמו בובות רוסיות, או כמו גלדים בבצל. בתמונה אנו רואים את המספרים הראשונים כריבועים, אבל ניתן להבין שאותה תופעה מתרחשת גם בקוביות. האופן הרגיל בו אנו תופסים את המספרים מוצג כקו בצד שמאל של כל ריבוע.

איזה צירוף מקרים. קניתי בחנות צעצועים עשר חפיסות של חמש אבנים, כלומר חמישים אבנים. לא חישבתי כמה אבנים אצטרך לפרויקט, וגם לא ידעתי מה בדיוק אני רוצה להראות. סידרתי את האבנים בצורת קוביות:

1³

2³

3³

ובצורת ריבועים

1²

2²

3²

בסך הכל השתמשתי ב-36 אבנים בשביל הקוביות

1+8+27=36

וב-14 אבנים בשביל הריבועים

1+4+9=14

בסך הכל חמישים, מתאים בדיוק מדהים למה קניתי.

***

בתמונה ניתן לראות כי :

1 . כל האבנים באותו גודל.

2 . 1² = 1³

3 . בקובייה של 2 יש כפליים יותר אבנים מאשר יש בריבוע של 2 .

4 . בקובייה של 3 יש 3 פעמים יותר מאשר בריבוע של 3 .

5 . האבן הראשונה מופיעה כ-1 מתוך 4 בריבוע של 2, וכ-1 מתוך 8 בקובייה של 2 .

6 . האבן הראשונה מופיעה כ-1 מתוך 9 בריבוע של 3, וכ-1 מתוך 27 בקובייה של 3.

7 . קובייה של 1 משמשת כחלק מקובייה של 2 אשר משמשת כחלק מקובייה של 3.

כשלמדתי בבית הספר את משפט פיתגורס לא הסבירו לי מה חשיבותו, ובאינטרנט מסבירים בדרך כלל את חשיבותו המעשית לבנאים ולאדריכלים, אבל לדעתי משפט פיתגורס  חשוב משום שהוא מטמין בתוכו מסר חיוני לתורת המספרים. המסר הוא שכל מספר הוא חלק ממספר שגדול ממנו, ושכל המספרים תחובים זה בתוך זה כמו גלדים בבצל. משפט פיתגורס הוא מקרה פרטי של חוק זה, והוא מדגים אותו באמצעות שני ריבועים שמרכיבים ריבוע שלישי, אבל אותם מספרים יכולים להרכיב גם קוביות. רק בממד של הטור לא רואים איך כל מספר תחוב במספר אחר.  

כל מספר הוא מרכיב של מספר שגדול ממנו. המספרים הראשוניים נחשבים למספרים מקוריים כי אינם מורכבים ממספרים אחרים, אבל, מצד שני, הם מרכיבים של מספרים אחרים, שגדולים מהם, ומבחינה זו הם דומים לכל מספר אחר.