מעבר לצורות

הפיתגוראים התמחו בהתבוננות במספרים שניתן לסדרם באמצעות אבנים או נקודות בצורת משולשים, ריבועים, מלבנים, מחומשים, משושים וכיוצא באלה. מה ששרד עד ימינו מהעיסוק הצורני שלהם הוא ככל הנראה הביטוי "בריבוע".  

הנה כך נראו להם המספרים המשולשים (סיפרו את הנקודות):

1=1

 .

2=1+2=3

.

. .

3=1+2+3=6

.

. .

. . .

4=1+2+3+4=10

.

. .

. . .

. . . .

אבל ניתן לראות את סדרת המספרים המשולשים גם בלי להצמיד אותה לצורה אם מבינים שהיא מורכבת ממספרים טבעיים שהם סכומי המספרים מ-1 עד אליהם. יוסף ספרא כינה את סכומי המספרים מ-1 עד אליהם בשם תוכנו של מספר, או המילוי שלו. 

שני תכנים, שהאחד מהם גדול מן השני באחד, יוצרים ריבוע של הגדול. אחד תוכנו אחד. שניים תוכנו שלש (אחד ועוד שניים).

1+3=4=2²

שניים תוכנו שלש, שלש תוכנו שש (אחד ועוד שניים ועד שלש).

3+6=9=3²

שלש תוכנו שש. ארבע תוכנו עשר (אחד ועוד שניים ועוד שלש ועוד ארבע).

6+10=16=4²

ניתן לראות את זה גם בצורה גיאומטרית כי המשולש של התוכן של האחד (באיור למטה ראשון משמאל) שיש בו רק נקודה אחת, משלים לריבוע את המשולש של התוכן של השניים, שיש בו שלש נקודות.

הנה כך:

. .

. .

והמשולש של התוכן של שניים (שלש הנקודות הראשונות למטה משמאל) משלים את התוכן של שלש (שש הנקודות שמעליהן) לריבוע של השלש

. . .

. . .

. . .

עד כמה שזכור לי, יוסף ספרא לא הראה לנו את "התרגום" הגיאומטרי לתכנים של המספרים, ולחיבוריהם הרבועים של התכנים. הוא הקפיד על התבוננות במספרים כשלעצמם, בלי לערבב אותם לא עם צורות ולא עם משמעויות מיסטיות. עם זאת, עבורי, ממרחק של עשרות שנים, מרתק לגלות שתלמידי פיתגורס הם המקור לצורת התבוננות זו בתכנים שחיבוריהם יוצרים את סדרת המספרים בריבוע.